今天给各位分享抛物线的标准方程的知识,其中也会对抛物线的标准方程图像进行解释,如果能碰巧解决你现在面临的问题,别忘了关注本站,现在开始吧!
本文目录一览:
- 1、抛物线的标准方程怎么求
- 2、抛物线标准方程是什么?
- 3、抛物线的标准方程是什么
- 4、抛物线的标准方程是什么?
- 5、抛物线的四种标准方程公式
- 6、抛物线标准方程
抛物线的标准方程怎么求
抛物线的标准方程指:
顶点在原点,对称轴是坐标轴,对应的抛物线的方程。
设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0),则四种不同的抛物线的标准方程为:
y²=±2px 对称轴为x轴
x²=±2py 对称轴为y轴
供参考,请笑纳。
抛物线标准方程是什么?
抛物线标准方程是:y²=2px(p0);y²=-2px(p0);x²=2py(p0);x²=-2py(p0)。
抛物线是平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
抛物线的几何性质:
(1)设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q,F是抛物线的焦点,则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线,垂足为A,那么PQ平分∠APF。
(2)过抛物线上一点P作准线的垂线PA,则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质(1)第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
(3)设抛物线上一点P(P不是顶点)的切线与法线分别交轴于A、B,则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质,即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。
各种探照灯、汽车灯即利用抛物线(面)的这个性质,让光源处在焦点处以发射出(准)平行光。
抛物线的标准方程是什么
抛物线的标准方程是什么
解:
抛物线的标注方程是:
焦点在x轴时:
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
焦点在y轴时:
y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
抛物线的标准方程是什么?
、定义
平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。
2.抛物线的标准方程
右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=-2px
上开口抛物线:y=x^2/2p
下开口抛物线:y=-x^2/2p
3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)
离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)
4.它的解析式求法:
三点代入法
5.抛物线的光学性质:
经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.
6、其他
抛物线:y = ax* + bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a 0时开口向上
a 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x-h)* + k
就是y等于a乘以(x-h)的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
7.用抛物线的对称性解题
我们知道,抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。
例1 已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。
分析 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3 = -3a。故a =-1。
∴y = -(x+1)(x-3),即
y = - x2 + 2x +3。
例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x =0时y的值。
分析 要求当x =0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。由此可知,抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是(1,6)。于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6。因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 6,即
y = - x2 + 2x +5。
∴当x =0时,y = 5。
例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。
分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。为此,需求出抛物线的解析式。由题设可知,抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。
∵点(1,0)在抛物线上,
∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -(x+1)2+ 4,即
y = - x2 - 2x +3。
∴点C的坐标为(0,3)。
∴S△ABC = 1/2×(4×3)= 6。
例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根,求四边形ABCD的面积。
分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。为此,要求出抛物线的解析式。由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是(1,4)。从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。
∵点(-1,0)在抛物线上,
∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)2+ 4,即
y = - x2 + 2x +3。
∴点B的坐标为(0,3)。
连结OA ,则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的标准方程有四种形式为:y²=2px(p0);y²=-2px(p0);x²=2py(p0);x²=-2py(p0)。
平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。在数学中,抛物线是一个平面曲线,它是镜像对称的,并且当定向大致为U形(如果不同的方向,它仍然是抛物线)。
抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。它在几何光学和力学中有重要的用处。抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
抛物线标准方程
抛物线标准方程:y²=2px(p0);y²=-2px(p0);x²=2py(p0);x²=-2py(p0)。
抛物线四种方程的异同:
共同点:
①原点在抛物线上,离心率e均为1。
②对称轴为坐标轴。
③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别对称于原点,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
不同点:
①对称轴为x轴时,方程右端为±2px,方程的左端为y^2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,方程的左端为x^2。
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号。
发表评论