今天给各位分享热传导方程的知识，其中也会对稳态热传导方程进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文目录一览：

• 1、热传导方程的齐次化原理
• 2、热传导方程式的解热方程
• 3、热传导方程是什么？
• 4、热传导方程

热传导方程的齐次化原理

热传导方程的齐次化原理：非其次方程的通解就是其齐次方程的特解再加一个常数项。

假设q有个密度Q（t，x），于是热流是个依赖于时间的向量函数H（x），其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法向量为n的无穷小曲面元素的热量是因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出，其中n（x）是在x点的向外单位法向量。

偏微分方程

是指微分方程的自变量有两个或以上，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

热传导方程式的解热方程

在理想状态下一根棍子的热传导，配上均匀的边界条件。

方程式如下：

其中u=u(t,x) 是t和x的双变量函数。

x是空间变量，所以x∈ [0,L]，其中L表示棍子长度。t是时间变量，所以t≥ 0。 假设下述初始条件

其中函数f是给定的。再配合下述边界条件

让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件 (3) 并具备以下形式：

这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程式 (1)，

由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数 − λ，于是：

以下将证明 (6) 没有 λ ≤ 0 的解：

假设 λ 0，则存在实数B、C使得 从 (3) 得到 于是有B= 0 =C，这蕴含u恒等于零。 假设 λ = 0，则存在实数B、C使得 仿上述办法可从等式 (3) 推出u恒等于零。 因此必然有 λ 0，此时存在实数A、B、C使得 从等式 (3) 可知C= 0，因此存在正整数n使得 由此得到热方程形如 (4) 的解。

一般而言，满足 (1) 与 (3) 的解相加后仍是满足 (1) 与 (3) 的解。事实上可以证明满足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式给出。

热传导方程是什么？

热传导方程是：

其中：u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间变数t与空间变数（x，y，z）的函数；k是热扩散率，决定于材料的热传导率、密度与热容。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

扩展资料：

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电势。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。

热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。

热传导方程

齐次热传导方程 ：

非齐次热传导方程 ：

当物体体积很大，考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间，而定解问题就成为 柯西问题 ，此时初始条件为

扩散方程

称为 扩散系数 ，总取正值.

扩散方程为

如果 是常数，记 ，扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.

初边值问题:

为正常数.

Sol: 分离变量法

令

代入方程有

于是

只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为 ，则有

由边界条件得

当 时，只有平凡解

当 时，

利用边界条件 得 ，利用第二个边界条件知

为使 为非平凡解， 应满足

即 应是下述超越方程的正解：

令

则变为

可知有无穷多个正根 ，满足 .

及相应的固有函数

同样可以解得

于是得到一列可分离变量的特解

用叠加原理构造级数形式的解

又

于是得到

于是得到初边值问题

的形式解为

设 是定义在 上的函数，它在 上有异界连续导数，则在 中 可以展开为傅里叶级数

并且

该积分表达式称为 的 傅里叶积分 .

称 为 的 傅里叶变换 ，记为

称 为 的 傅里叶逆变换 ，记为 .

当 在 上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且逆变换等于 .

性质 1 线性变换

其中 ， 为函数.

如果对给定的 ，当 时，

存在，则称 为 与 的 卷积 ，记为 . 显然，当 为绝对可积时， ，即卷积是可以交换的.

性质 2

和 的卷积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的乘积，即

性质 3

和 乘积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的卷积乘以 ，即

性质 4

如果 都是可以进行傅里叶变换的，而且当 时， ，则成立

性质 5

如果 及 都可以进行傅里叶变换，那么

热传导方程柯西问题的求解

解为

也成为泊松公式.

非齐次热传导方程的柯西问题

解为

由叠加原理可以得到柯西问题的解为

的解为

第一类边值问题中：

热传导方程的初边值问题

在区域 上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件及边界条件.

对任意给定的 ，热传导方程的初边值问题在 上的解是唯一的，且连续地依赖于初值 以及边界条件中的函数 .

柯西问题

在有界函数类中的解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件.

假设初始函数 满足 则当 趋于无穷时，问题

的唯一的经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当 时，对一切 ，

其中 为一个与解无关的正常数.

这个唯一经典解是

如果 收敛，则称 ，并记

设 是由解连续函数，且 ，则柯西问题

的唯一经典解具有如下的渐近性态：对一切 ，当 时，一致地连续

其中 为一个仅与 及 有关的正常数.