单摆运动（单摆运动是什么意思）-51转让网

今天给各位分享单摆运动的知识，其中也会对单摆运动是什么意思进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

本文目录一览：

1、单摆运动
2、单摆运动是什麽
3、单摆运动知识点
4、单摆运动是什么
5、什么是单摆运动
6、什么是单摆

单摆运动

1.单摆：用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。

2.单摆运动：单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆运动的周期公式：T=2π√(L/g).其中L指摆长，g是当地重力加速度。

单摆运动（单摆运动是什么意思）

单摆运动是什麽

由一根不可伸长、质量不计的绳子，上端固定，下端系一质点，的装置叫做单摆。单摆在摆角小于5°的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆周期公式：T=2π[l/g].

质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为 l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期 T只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于 5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：

单摆受到的重力矩为：

M = - m * g * l * Sin x.

其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到，

M = J * β.

其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

于是化简得到

x'' * l = - g * Sin x.

我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程

x'' + Sin x = 0.

因为单摆的运动方程（微分方程）是

x'' + Sin x = 0…………（1）

而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是

x'' + x = 0………………（2）

我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。（这里取的是弧度制。即当x - 0时有Sin x / x = o(1)。）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

然后说一下为什么是5°。由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

伽利略第一个发现摆的振动的等时性，并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动。惠更斯制成了第一个摆钟。单摆不仅是准确测定时间的仪器�也可用来测量重力加速度的变化。惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那，发现每天慢 2.5分钟，经过校准，回巴黎时又快 2.5分钟。惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱。I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的。直到20世纪中叶，摆依然是重力测量的主要仪器。

[sir_chen补充]

上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式,但是对于我个人而言比较喜欢追求完美.所以在此补充一点,也就是在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念:第一类不完全椭圆积分:F(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一类完全椭圆积分K(x)=F(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示对f(x)在区间[a,b]上的定积分)

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为:

d²θ/dt²+g/l*sinθ=0

令ω=dθ/dt,上式改写成:

ωdω/dθ+g/l*sinθ=0

其全解为:

ω²=2g/l*cosθ+c

给定初始条件θ=α(0≤α≤π),ω=0,则其特解为:

ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))

所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2))

做变换sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,则

t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*F(φ,sin(α/2))

以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2

那么T=4t=4√(l/g)*F(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*K(sin(α/2)),此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响

单摆的近似公式为T=2π√(l/g),精确公式为T=4√(l/g)*K(sin(α/2)),记相对误差为e(α)

那么e(α)=(2K(sin(α/2))-π)/(2K(sin(α/2))

用Maple计算得到:

e(1)=0.0019%

e(2)=0.0076%

e(3)=0.0171%

e(4)=0.0305%

e(5)=0.0476%

e(6)=0.0685%

e(7)=0.0933%

e(8)=0.1218%

e(9)=0.1542%

e(10)=0.1903%

e(11)=0.2303%

e(12)=0.2741%

e(13)=0.3217%

e(14)=0.3730%

e(15)=0.4282%

e(16)=0.4872%

e(17)=0.5500%

e(18)=0.6165%

e(19)=0.6869%

e(20)=0.7611%

实验室一般取α≤5,所以相对误差不超过0.05%,总的来说精度还是比较高的.

单摆运动知识点

1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型；

2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题； 3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析； 4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题； 5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。【考点梳理】考点一、单摆

定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆。要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型。（2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角 10。（3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示。在 10时，F回 mgsin mg其中k

kx， l

考点二、单摆的周期

实验证明单摆的周期与振幅A无关，与质量m无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g

的增大而减小。荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：T 2几种常见的单摆模型：

在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。 1、等效摆长

如图所示，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d。l2、l3与天花板的夹角 30。

（1

）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆

单摆运动是什么

用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内作周期运动,就成为单摆.单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时,可近似认为是简谐运动.单摆运动的周期公式：T=2π√(L/g).其中L指摆长,g是当地重力加速度.

什么是单摆运动

首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述：